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Kategorien: Begriffssprache und mathematische Theorie
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(Buch) |
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| Die Theorie der Kategorien hat sich rasch entwickelt. Die Begriffe und Methoden, de ren Behandlung sich das vorliegende Buch zum Ziel setzt, lassen sich jetzt nutzbringend von Mathematikern anwenden, die auf verschiedenen anderen Gebieten der Mathematik forschen. Die Darstellung erfolgt in mehreren Stufen. Auf der ersten Stufe liefern Ka tegorien eine brauchbare Begriffssprache, der die Begriffe "Kategorie", "Funktor", "nattirliche Transformation", "Kontravarianz" und "Funktorkategorie" zugrunde liegen; sie werden - zusammen mit geeigneten Beispielen - in den Kapiteln I und II behandelt. Der fundament ale Begriff eines Paares adjungierter Funktoren schlieBt sich an, der in vielen, im wesentlichen einander gleichwertigen Formen auftritt: als universelle Kon struktion, als Limes und Colimes sowie als Paar von Funktoren - zusammen mit einem nattirlichen Isomorphismus zwischen entsprechenden Pfeilmengen. AIle diese Formen und ihre wechselseitigen Beziehungen werden in den Kapiteln III - V untersucht. Man konnte sagen: "Adjungierte Funktoren treten tiberall auf". Der fundamentale Begriff in der Theorie der Kategorien ist derjenige eines Monoids, d. h. einer Menge mit einer zweistelligen Verkntipfung (Multiplikation), die assoziativ ist und eine Einheit besitzt. Eine Kategorie selbst HiBt sich als eine Art verallgemei nertes Monoid auffassen. In den Kapiteln VI und VII werden dieser Begriff und seine Verallgemeinerungen studiert; seine enge Beziehung zu Paaren adjungierter Funktoren erhellt die Begriffsbildungen der universellen Algebra und gipfelt im Satz von Beck, der Kategorien von Algebren charakterisiert. |
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